《戴森球計劃》環赤道太陽能腰帶發電期望

結論

在游戲中,環赤道太陽能腰帶備受好評,特別是在近日軌道的工業星球上,效果拔群。可以說是每一名玩家的第一個行星級建築。但始終有一部分太陽能板不工作的特性,讓一部分玩家對光電保有懷疑態度,甚至陷入疑惑線,最終歸結於鋪設方便這種感性結論。

因此,這篇文章建立了合理的晨昏圈模型,算得:

  • 太陽能板在赤道處發電的平均期望為196.64 kW
  • 任意位置的平均期望約為205.57 kW

並對數種太陽能板陣列發電的周期性進行了評估。

背景知識

太陽能腰帶,光伏板像向日葵一樣自動調整角度,又隨著日落而逐漸熄滅,讓人印象深刻。很好地展示了游戲的特性:行星並非是一個獨立的場景,恆星也不僅僅是場景的光源,它們都是宇宙中可以相互交互的實體。

影響太陽能板發電效果的因素有:

光能利用率

光能利用率即星球的面板值,直接影響該星球太陽能板的發電期望,光能利用率越高,太陽能板的發電期望越高,這一點毫無異議。

太陽能板位置(經度、緯度)

太陽能板的位置,這里主要是緯度對發電效率有比較明顯的影響。

行星參數與太陽能板的陣列排布方式

註:行星參數包括自轉周期、公轉周期、地軸傾角、衛星的軌道傾角。

行星參數和陣列排布則從正反兩個方面決定了發電的周期性,這是一個重要的評價指標。復數的太陽能板發電大多數情況下呈正弦式的波動,有峰值和谷值。用電器不會等到峰值時集中用電,也不會在谷值時集體休息,那麼在盡可能避免黃電的情況下,谷值才是有效值。所以,單純的發電期望高並不一定舒適,當然所有的太陽能陣列都可以用電池達到發電期望值,考慮電池的高成本和額外占地,如果能用合適的陣列幾何地消除波動性,是再好不過。

建立合適的模型,計算各種陣列的發電期望並對波動性進行評估將是本文的主要內容。

太陽能板涉及到行星和恆星的互動,要計算其發電期望,必須講明一些「宇宙常數」:

經緯度定位

所有固態行星的大小和經緯劃分完全相同,並且,赤道處緯線圈為1000格,每格1.26 m。所有經線圈為1000格,每格1.26 m。由此可得:赤道處每格位移對應經度±0.36°,經線每格位移對應緯度±0.36°。由此,獲得精確定位。

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行星的角度參數

軌道傾角和地軸傾角,軌道傾角對衛星有較大影響,不展開討論。對行星來說,地軸傾角這個指標更為重要,也就是自轉軸和公轉軸之間的夾角,或者說是赤道面和黃道面之間的二面角。

地軸傾角會影響行星的極晝極夜范圍,會導致太陽直射點的回歸運動。地軸傾角越小,太陽能板工作越穩定。在地軸傾角較小的星球,緯度越高,「效率」越高;緯度越低,緯線圈半徑越大,容納的太陽能板數量越高,總發電量越高。地軸傾角較大的星球,緯度越高,「效率」的期望越高,季節波動越明顯,緯度越低,期望越低,季節波動也越不明顯。

所以軌道共振並非完全是一個毫無用處的標簽,至少和潮汐鎖定一樣,地軸傾角都比較小,能顯著降低光電的波動性。

在一些潮汐鎖定星球,某些地方太陽能板的功率依然會有波動,並不是潮汐鎖定星球仍然在緩慢晝夜變化,可能是直射點沿著所在經線,在赤道附近擺動導致。

此外,自轉周期和公轉周期也是比較重要的參數,可能會影響電池的最小數量,本文暫不談。

赤道太陽能腰帶

首先,列出一系列的統計數據,對赤道腰帶這種最廣泛的太陽能陣列有一個大致認識。

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赤道有1000格,太陽能板占地3×3,赤道太陽能腰帶需要333個太陽能板,餘1格。這一點在所有能鋪太陽能板的星球都是一致的。也就有了第1節所有固態星球完全相同的結論。

對表格中各個屬性的定義如下:

  • 平均功率=發電功率/太陽能板數量
  • 額定功率=360 kW × 光能利用率,即該行星太陽能板滿功率工作時,能達到的最大功率
  • 等效工作時長日占比=平均功率/額定功率,一晝夜間,太陽能板以最大功率工作的(等效)時間(占比)

統計數據和理論計算數據都能有力支持以下計算簡式:

  • 赤道太陽能腰帶功率(MW) = 65.48 MW × 光能利用率

游戲中的晨昏圈模型

如果鋪過潮汐鎖定星球的太陽能板,或者在「M」視角下觀察過太陽能腰帶,一定能發現:太陽能板並不是只在直射點± 90°的晝半球才會工作。(或者說,太陽能腰帶的熄滅處並非晨昏分界線)太陽剛落下時,即使地平線已經看不見太陽,太陽能板似乎依然有少許發電能力。

經實驗測試,在晨昏圈附近,太陽能板的工作狀態分布是這樣的:

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橙色為100%工作區域,淺橙為0~100%的過渡區域,灰色為不工作區域

在赤道太陽能腰帶中:

  • 有約1/2的太陽能板滿功率工作(√)
  • 有約39%的太陽能板不能工作(√)

下圖標出了赤道上光照係數的角分布:

光照係數

當前此處太陽能板的發電功率和該星球最大發電功率(= 光能利用率 × 360 kW)的比值。個體概念,瞬時概念,和光能利用率不一樣,乘算,不疊加。

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橫軸是經度,橙點為直射點,黑點為赤道上的晨昏點,即晝半圈和夜半圈分界點

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α指在赤道的夜半圈光照係數>0的區域對應的圓心角,β指赤道的晝半圈光照係數

為了求α和β的精確數值,我們沿著潮汐鎖定星球赤道,在晝夜交界附近,鋪一些太陽能板,並讀取這些太陽能板的發電數值,以光照係數的形式對經度作出函數圖像:

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在過渡區域,光照係數沿著經度(λ/°E)呈現線性變化。

得到線性回歸方程後外推,就可以得到光照係數為1和0時的經度,也就是過渡區域分界線的精確位置。

在對稱的晨昏線處進行相同的實驗,對稱分界點之正中即是直射點的位置。再將直射點經度±90°,我們就可以確定晨昏點的經度,分別是47.365°和-132.635°。(正是左下角信息面板中晝夜狀況的改變位置,驗證了此結論的正確性)

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實驗結果

接著就得到圖中的晝半球過渡角β = 3.335°,夜半球過渡角α = 19.975°,總過渡角23.31°。

由於光照係數對經度的函數是線性的,期望也相當之好算。可以用以下簡式計算:均化光照係數 = (180 + α – β) / 360。得到均化光照係數為0.54622,也就是統計中保持在0.546左右的等效工作時長日占比。

均化光照係數:某一瞬間,太陽能板陣列中所有太陽能板光照係數的平均值

等效工作時長日占比:太陽能板一晝夜內滿功率工作的(等效)時間(占比)

均化光照係數是空間平均概念,等效工作時長日占比是時間平均概念。太陽能腰帶用空間均勻性使其具有了時間均勻性,因而此時兩個概念是等價的。若是太陽能扇環,其均化光照係數就是一個隨時間變化的函數,而等效工作時長日占比依然是定值,此時,兩個概念不能劃等號。

實驗是在永晝永夜做的,就如在晝夜交替的星球發動了咋瓦盧多,時間が止まる。反過來想,也是一樣,所以實驗結論也能推廣到其他星球。但值得注意的是,潮汐鎖定星球地軸傾角幾乎為0,本節和下一節的結論僅適用於這類地軸傾角不太大的星球,在第5節和第6節說明了地軸傾角不可忽略時的情況。

高緯太陽能環

0.54622這個光照係數只在赤道有效,等效工作時長日占比和緯度是有關的。也就是說,太陽能環的均化光照係數也是緯度的函數。

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如圖,我們注意到在高緯度有這樣一條緯線(藍線標示),不論直射點在赤道上的哪里,都有大於0的光照係數。也就是說,這里的一圈太陽能板永遠都會亮藍燈不會滅掉,存在一個偽永晝的效果。

優點:

  • 傾角較小時,有穩定的偽永晝效果
  • 此處「發電效率」(均化光照係數)相對更高

缺點:

  • 太陽能環的總發電量較低
  • 傾角較大時,不穩定性更大

以下是統計數據,在圖中對照各個緯線的位置就能理解為何均化光照係數會隨緯度發生變化。

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正常晝夜交替星球不同緯度太陽能環的數據(光能利用率103%)

(為了避免地軸傾角影響,在南北半球對稱放置,所以這里是兩倍,但不影響平均功率和光照係數)

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潮汐鎖定星球不同緯度太陽能環的數據(光能利用率135%)

緯度越高,該緯度能建的太陽能板的數量就越少,但光照效率更高,那麼我們可以考察一圈太陽能板的發電總量和兩個變量的相關性:

  • r(環發電功率,數量) = 0.997
  • r(環發電功率,平均功率) = -0.913

發電總量和數量正相關,和平均功率負相關。因此,太陽能板的數量對發電總量貢獻更多。

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不同緯度太陽能環發電期望的擬合模型

可以將經緯度這套柱坐標變換成極坐標再套用到晨昏圈模型中積分求平均,但畢竟有點難算。作為老藍狗,這里給一個能覆蓋絕大多數區域的分段擬合模型。

緯度首先影響的是過渡區大小嘛,根據這一點,在φ緯度,對過渡角α和β做以下修正:(下式中的α’和β’是該緯度圈的圓心角,而非球心角)

  • sin α’ = sin α / cos φ
  • sin β’ = sin β / cos φ
  • y = (180 + α – β) / 360

下圖繪制了該擬合模型的擬合曲線(理論值)以及根據表4-2繪制的實際曲線(測試值)。此模型下,0~60°區域相當吻合,但φ>60°時出現較大偏差。這是因為,高緯度地區太陽能板不像赤道是面朝東西方,所以出現了較大偏差。

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α和β最大值是90°,所以紅線在70°和86°出現了拐點,當然了這部分完全擬合不上

高緯度更像線性模型,結合實驗數據,得到如下分段函數:

當φ

  • sin α’ = sin α / cos φ
  • sin β’ = sin β / cos φ
  • y = (180 + α’ – β’) / 360

當70.025°

  • y = 0.0126 φ – 0.2285

當φ > 86.665°時:

  • y = 0.8569

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60°~70°影響因素復雜,難以獲得簡單的模型,需要更細致的研究。總之,在游戲中,提高緯度能提高效率,並且大方向上是單增的。

對高緯度太陽能環的評價:

  • 高緯度太陽能環效率更高
  • 赤道太陽能環發電量更高

所以,高緯度太陽能環能不能做?我的意見是:能做,特別是地軸傾角比較小的時候(如果是衛星,軌道傾角最好也比較小)。推薦在哪里做?我推薦70°。首先,這條緯線是一個換格緯線,本身就不太好利用。其次,這個緯度對極地各種轉轉轉和低緯廠區規劃的影響都不太大。第三,這個緯圈剛好是偽永晝的最小緯度。

那麼,傾角較大時,高緯度太陽能板能不能做?我建議慎重考慮,波動性會比較高。

對稱性和太陽能板發電量波動周期

圓對稱性能消除自轉導致的發電漲跌。或者更嚴謹地說緯圈對稱性,這要求陣列具有C∞軸且該軸與地軸重合,也就是沿著緯線擺放。經圈太陽能板也有圓對稱性,但不大相同。

講解對稱是如何消除太陽能發電波動之前,先看看單個太陽能板會有什麼樣的發電波動。

太陽光直射點的運動方式和自轉方向正相反,是自東向西移動。

如圖所示,對於北半球緯度φ

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單個太陽能板的光照係數隨時間的變化和光照係數隨經度的變化是相似的。

若繞著緯圈建設一圈太陽能板,就不會有自轉波動,而是第2節、第4節所計算的一個固定值。

當地軸傾角不能忽略時,遠離赤道的太陽能環的發電量會隨著季節變化而變化。北半球輻射量小的時候南半球輻射量高,因此,在游戲中,我們可以在南半球安裝對稱的一圈太陽能板,即所謂的圓柱對稱性,從而消除季節反相的波動。

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對稱性和周期性總結如下:

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地軸傾角對圓柱對稱太陽能陣列的影響

除季節帶來的半球反相波動外,地軸傾角還會帶來一種太陽能環這種級別的對稱性無法消除的固有波動,即過渡區的季節性拉伸,如下圖所示。

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地軸傾角不太大時,θ是地軸傾角,對過渡角α和β的修正如下:

  • sin α’ = sin α / cos θ
  • sin β’ = sin β / cos θ

和緯度類似,傾角較高的時候這個模型應該也不太精準。

可以這樣理解,有地軸傾角的星球,在夏天和冬天,太陽能板會向兩邊「跑」,「緯度」就變高了,而高緯的均化光照效率高於赤道,從而提高了效率。

這樣來看,完全是正面影響。或者說,從期望來看,有地軸傾角星球的赤道太陽能/對稱太陽能環略大於無地軸傾角星球的赤道太陽能/對稱太陽能環。(這大概也是表2-1中偏差的來源之一)

還要補充一句,不能因為這一點就覺得地軸傾角在太陽能板上是正面特質,橫躺自轉的波動性,什麼陣列都救不了,要麼鋪滿,要麼加電池。

衛星地軸傾角和軌道傾角的耦合比較復雜,還是等專業人士解答吧。

太陽能板的發電期望

利用第2節中赤道太陽能腰帶的實驗結論,我們可以知道,除去光能利用率的因素後,赤道上太陽能板的發電功率期望為196.64 kW(即360 kW × 0.54622)。

此外,根據第4節的數據,可以求出,任意位置的太陽能板,發電功率期望的均值為205.57 kW,過程如下:

已知:太陽能環的功率P_ring和緯度φ、地軸傾角θ有關。

當地軸傾角趨於0時,每環太陽能板的年化功率期望P_ring只和緯度有關。忽略第6節所述的地軸傾角帶來的過渡區季節性拉伸,太陽能環的年化功率期望全等於地軸傾角趨於0時,太陽能環的功率,數學語言表述為:

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第4節中給出了在潮汐鎖定星球上的一系列太陽能環功率和緯度的函數關系P_ring(φ)以及該緯度所能容納的太陽能板數量和緯度的函數關系n_ring(φ)。

二者對緯度φ積分,從-90°(南半球)積到90°

  • ∫P_ring為9358.59 MW(即鋪滿整個球,發電的期望為9.36 GW)
  • ∫n_ring=33721.70(即鋪滿整個球需要33721.7個太陽能板)。相除為277.5242 kW

同時,赤道處太陽能板平均功率為265.4655 kW,277.5242 / 265.4655 = 1.0454。

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  • 那麼赤道太陽能板的平均功率期望為360 kW×0.54622 = 196.64 kW
  • 全球太陽能板的平均功率期望為360 kW × 0.54622 × 1.0454 = 205.57 kW

也能用此法算得,高緯度區(70°~90°)太陽能板的平均功率期望為:264.48 kW(方法和全球一致)

來源:bilibili
作者:truewillium《戴森球計劃》環赤道太陽能腰帶發電期望

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